6. Taivaanmekaniikka. Vektorin r suuntainen yksikkövektori puolestaan on ˆr = r/r.
|
|
- Eeva-Liisa Oksanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6. Taivaanmekaniikka Taivaanmekaniikka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä. Lähdemme liikkeelle Newtonin laeista ja johdamme niistä liikelait. Planeettojen liikettä kuvaavat Keplerin lait tosin määritettiin alunperin suoraan havainnoista. Seuraavassa oletetaan vektorilaskennan perusteiden tuntemista (vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku, skalaaritulo ja vektoritulo). Merkitään vektoria r:llä ja sen itseisarvoa (joka on skalaarisuure) r:llä. Vektorin r suuntainen yksikkövektori puolestaan on ˆr = r/r.
2 (Wikimedia Commons: Brews OHare, muokattu) Käytetään seuraavia merkintöjä: r 1 =Auringon paikkavektori (jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa) r 2 =planeetan paikkavektori m 1 =Auringon massa, m 2 =planeetan massa r=planeetan paikkavektori aurinkokeskisessä koordinaatistossa r = r 2 r 1
3 Newtonin toisen lain mukaan planeetan kiihtyvyys riippuu siihen kohdistuvasta voimasta, eli F = m 2 r 2, (1) missä r 2 on paikkavektorin r 2 toinen aikaderivaatta, eli kiihtyvyys. Tällöin saadaan gravitaatiolakia soveltamalla ja vastaavasti Auringolle m 2 r 2 = Gm 1 m 2 r r 3 (2) m 1 r 1 = +Gm 1 m 2 r r 3 (3) Toisaalta r = r 2 r 1 r = r 2 r 1 (4)
4 Sijoittamalla edelliseen yhtälöt (2) ja (3) taas saadaan missä µ = G(m 1 + m 2 ). r = µ r r 3, (5) Tämä toisen kertaluvun vektoriarvoinen differentiaaliyhtälö kuvaa planeetan liikettä Auringon suhteen. Huom: kaavoissa (2) ja (3) on nimittäjässä r 3, miksi? Gravitaation voimakkuus skalaarimuodossa on toki F = Gm 1m 2 r 2, (6) mutta vektorimuotoon siirryttäessä pitää huomioida myös suunta. Jos olisi käytetty r-vektorin suuntaista yksikkövektoria, niin planeetan tapauksessa olisi voitu kirjoittaa myös m 2 r 2 = G m 1m 2 ˆr. r 2
5 Liikeyhtälön ratkaiseminen Edellä mainitun liikeyhtälön ratkaisemiseen tarvitaan kuusi integroimisvakiota, joita taivaanmekaniikassa kutsutaan integraaleiksi. Integraalit määräävät radan asennon, muodon ja koon. Integraalit voidaan valita useilla eri tavoilla: Voidaan käyttää esim. paikka- ja nopeusvektorien komponentteja, joiden avulla rataa voidaan integroida mielivaltaisella tarkkuudella eteen- tai taaksepäin. Usein käytetetään ns. rataelementtejä. Niihin palataan myöhemmin. Kolmas tapa on käyttää ns. fysikaalisia integraaleja k, e ja h. Johdetaan ne seuraavassa. Planeetan impulssimomentti eli pyörimismäärä aurinkokeskisessä koordinaatistossa on L = m 2 r ṙ. (7)
6 Käytetään nyt mieluummin pyörimismäärää/planeetan massayksikkö k = r ṙ. (8) Tämän aikaderivaatta on k = r r + ṙ ṙ (9) Jälkimmäinen termi on tietenkin nolla ja liikeyhtälön perusteella voimme kirjoittaa edelleen eli sekin on nolla. k = r ( µr/r 3 ) = (µ/r 3 )r r (10) Toisin sanoen k on vakiovektori (samoin L). Koska pyörimimäärävektori on aina kohtisuorassa liikettä vastaan, täytyy liikkeen tapahtua k-vektoria vastaan kohtisuorassa tasossa. k-vektorin komponenteista saamme kolme integraalia.
7 (Wikimedia Commons: Prometeus (muokattu))
8 Lasketaan nyt vektoritulo k r = (r ṙ) ( µr/r 3 ) = (µ/r 3 )[(r r)ṙ (r ṙ)r]. (11) Etäisyyden r aikaderivaatta ṙ on ṙ:een projektio paikkavektorin r suunnassa, eli radiaalinopeus. HUOM!: ṙ EI siis ole ṙ:een itseisarvo! Näin ollen ṙ = r ṙ/r eli Sijoittamalla tämä saamme (huom: r r = r 2 ): r ṙ = rṙ. (12) Toisaalta k r = µ(ṙ/r rṙ/r 2 ) = d ( µr/r) (13) dt k r = d (k ṙ). (14) dt
9 Joten ja d (k ṙ + µr/r) = 0 (15) dt k ṙ + µr/r = vakio = µe. (16) Koska k on kohtisuorassa ratatasoa vastaan, on k ṙ ratatasossa. Ts. myös vakiovektori e on ratatasossa ja osoittaa suuntaan, jossa planeetta on radallaan lähinnä Aurinkoa eli perihelissä. Lasketaan seuraavaksi skalaaritulo ṙ r = µṙ r/r 3 = µrṙ/r 3 = µṙ/r 2 = d (µ/r). (17) dt Toisaalta ṙ r = d dt ( ) 1 2ṙ ṙ, (18)
10 joten ( ) d 1 dt 2ṙ ṙ µ/r = 0, (19) eli 1 2 v 2 µ/r = vakio = h, (20) missä v on planeetan nopeus radallaan ja kokonaisenergia on m 2 h. Skalaaria h sanotaan energiaintegraaliksi. Meillä on nyt siis kaksi vakiovektori (molemmilla kolme komponenttia) ja yksi skalaari. Onko meillä siis seitsemän integraalia? Edellä johdetut integraalit eivat ole kuitenkaan toisistaan riippumattomia, vaan voidaan osoittaa (kts. Tähtitieteen perusteet, s. 176), että niille pätevät relaatiot
11 k e = 0, (21) ja missä e ja k ovat vektorien e ja k itseisarvot. µ 2 (e 2 1) = 2hk 2, (22) Kun nämä relaatiot otetaan huomioon, riippumattomia integraaleja onkin enää viisi. Edellä mainitut viisi integraalia määräävät täydellisesti radan koon, muodon ja asennon, mutta ne eivät kerro mitään siitä, missä kappale on radallaan! Ilmeinen kuudes integraali siis kertoo kappaleen paikan radallaan. Tämä tehdään yleensä ilmoittamalla periheliaika τ, ts. se hetki jolloin planeetta on radallaan lähinnä Aurinkoa.
12 Radan yhtälö ja Keplerin 1. laki Vakiovektori e sijaitsee ratatasossa, käytetään sitä perussuuntana. Merkitään paikkavektorin ja e:n välistä kulmaa f :llä (todellinen anomalia eli luonnollinen anomalia) jolloin Toisaalta r e = re cos f. (23) r e = 1 µ (r k ṙ + µr r/r) = 1 k2 µ (k ṙ r + µr) = µ r. Näistä kahdesta r e :n lausekkeesta saadaan etäisyydeksi r = k2 /µ 1 + e cos f. (24) Tämä on kartioleikkauksen yleinen yhtälö napakoordinaateissa (r, f ) silloin kun origo on polttopisteessä!
13 (Wikimedia Commons: Stamcose)
14 Vektorin e itseisarvo e ilmoittaa kartioleikkauksen eksentrisyyden. e = 0 ympyrä 0 < e < 1 ellipsi e = 1 paraabeli e > 1 hyperbeli Kartioleikkauksen yhtälöstä nähdään myös, että etäisyys r on pienimmillään kun f = 0, eli planeetta on vektorin e suunnassa. Olemme johtaneet Keplerin ensimmäisen lain: Aurinkoa kiertävän planeetan rata on ellipsi, jonka toisessa polttopisteessä on Aurinko tai oikeammin yleisemmän lain, jonka erikoistapaus Keplerin 1. laki on myös paraabeli- ja hyperbeliradat ovat mahdollisia.
15 (Wikimedia Commons: Cdang)
16 (Wikimedia Commons: Mintz)
17 Aiemmin esitetystä radan yhtälöstä nähdään, että ns. radan parametri p = k 2 /µ. Toisaalta geometriasta tiedetään, että ellipsin ja hyperbelin parametri on p = a 1 e 2, joten isoakselin puolikas on a = k2 /µ 1 e 2. (25) Käyttämällä hyväksi aiemmin esitettyä yhtälöä µ 2 (e 2 1) = 2hk 2 saadaan yhteys radan koon ja energiaintegraalin välille a = µ/2h, kun rata on ellipsi a = µ/2h, kun rata on hyperbeli. Sidotulle systeemille, eli ellipsiradalle, kokonaisenergia ja energiaintegraali ovat negatiivisia, hyperbeliradalle h on positiivinen: kappale pystyy karkaamaan Auringon vetovoimakentästä. Rajatapauksena on paraabelirata, h = 0.
18 ESIMERKKI Maan radan isoakselin puolikas a = 1.0 AU ja eksentrisyys e = Marsille vastaavat lukemat ovat a = ja e = , asteroidille 2000 BD19 puolestaan a = ja e = Mitä nämä luvut tarkoittavat? Maapallon radan Aurinkoa lähin piste, eli periheli on r p = a(1 e)) = 1.0 ( ) = AU, radan kaukaisin piste apheli puolestaan r a = a(1 + e) = 1.0 ( ) = AU Marsille vastaavat luvut ovat r p = AU, r a = AU. Asteroidille taas r p = AU, r p = AU.
19 Entäpä tarkemmat muodot? Verrataan nyt pelkästään ratojen muotoa, ts. perihelin suunta ja inklinaatio jätetään nyt huomioimatta (Marsin radan inklinaatio i = 1.85, ko. asteroidin i = 25.7 ). Helpoin tapa lähestyä ongelmaa on kirjoittaa pieni ohjelma, joka ratkaisee kappaleiden paikat napakoordinaateissa (r, f ) kaavasta r = a 1 e2 1 + e cos f ja plottaa ne sitten (ohjelmointikielestä tai ohjelmistosta riippuen voidaan tarvita muutos karteesisiin koordinaatteihin, x = r cos f, y = r sin f ).
20 ESIMERKKI: Maan rata
21 ESIMERKKI: Maan ja Marsin radat
22 ESIMERKKI: Maa, Mars ja asteroidi
23 Keplerin 2. ja 3. laki Planeetan paikkavektori on napakoordinaatistossa r = rê r, missä ê r, on r:n suuntainen yksikkövektori. Planeetta liikkuu kulmanopeudella ḟ, jolloin tämän yksikkövektorin suunta muuttuu samalla kulmanopeudella, joten ê r = ḟ ê f. (26) missä ê f on ê r :ää vastaan kohtisuora yksikkövektori. Nopeusvektorille puolestaan saadaan ṙ = ṙê r + r ê r = ṙê r + rḟ ê f. (27) Vektorille k taas saadaan k = r ṙ = r 2 ḟ ê z, (28) missä ê z on ratatasoa vastaan kohtisuora yksikkövektori.
24 Toisin sanoen vektorin k pituus on k = r 2 ḟ (29) missä ḟ on planeetan luonnollisen anomalian aikaderivaatta. Toisaalta voidaan osoittaa, että planeetan paikkavetorin aikayksikössä pyyhkäisemä pinta-ala eli pintanopeus on Vertaamalla näitä kahta yhtälöä saadaan Ȧ = 1 2 r 2 ḟ. (30) Ȧ = 1 k. (31) 2 Koska k on vakio, niin planeetan pintanopeuskin on vakio. Toisin sanoen saimme Keplerin 2. lain: ellipsirataa liikkuvan planeetan pintanopeus on vakio.
25 (Wikimedia Commons: Stw)
26 Kirjoitetaan edellinen yhtälö hieman toisin ja integroidaan se yhden kierroksen yli: missä P on kiertoaika. rataellipsi Ellipsin pinta-ala on πab = πa 2 1 e 2, joten da = 1 P 2 k dt, (32) 0 πa 2 1 e 2 = 1 kp. (33) 2 Aiemmin esitettyjen kaavojen (kirjassa 6.13) perusteella k:n itseisarvolle saadaan lauseke k = G(m 1 + m 2 )a(1 e 2 ), jolloin kaava 33 saadaan muotoon P 2 = 4π 2 G(m 1 + m 2 ) a3. (34)
27 Tämä on Keplerin 3. lain yleistetty muoto. Jos planeetan massa on hyvin pieni verrattuna Auringon massaan, niin siitä saadaan perinteinen Keplerin 3. laki: planeettojen ratojen isoakselien puolikkaiden kuutiot suhtautuvat toisiinsa kuten niiden kiertoaikojen neliöt. Jos etäisyyden yksikkönä käytetään AU:ta, ajan yksikkönä sideeristä vuotta ja massan yksikkönä Auringon massaa, niin gravitaatiovakio G = 4π 2 ja a 3 = (m 1 + m 2 )P 2. (35)
28 Esimerkki Pikkuplaneetan ellipsiradan isoakselin puolikas a = AU, laske pikkuplaneetan nopeus silloin kun sen etäisyys Auringosta on r = 1.17 AU. Energiaintegraali: joten josta h = µ 2a, 1 2 v 2 µ r = µ 2a, v = µ ( 2 r 1 ) a
29 = ( 2 4π ) = AU/vuosi 31 km/s Huom: edellä on laskettu µ = G(m 1 + m 2 ) = 4π 2 (m 1 + m 2 ) 4π 2 m 1 = 4π 2!
30 Monen kappaleen systeemit Kun tarkastelemme useammasta kappaleesta (lukumäärä n) muodostuvaa systeemiä, niin voimme kirjoittaa kappaleen k liikeyhtälön analogisesti kahden kappaleen tapauksen kanssa r k = n i=1,i k r i r k Gm i r i r k 3. (36) Yhtälön yleinen ratkaisu vaatii 6n integraalin tietämistä. Tämä onnistuu vain kun n = 2, ts. yleistä analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa kun n 3! Yleisessä tapauksessa tiedetään vain kokonaisenergia, -liikemäärä ja -pyörimismäärä. Jos kappaleiden paikat ja nopeudet tiedetään jollakin ajanhetkellä, voidaan paikat ja nopeudet jonain muuna hetkenä laskea numeerisesti liikeyhtälöstä.
31 Jos yksi kappale on paljon muita massiivisempi, voidaan tarkastella n 1:tä kahden kappaleen probleemaa, joihin lisätään häiriötermejä, jotka kuvaavat muiden planeettojen vaikutusta. Rajoitettu kolmen kappaleen probleema: kaksi massiivista kappaletta eli primääriä kiertää toisiaan pitkin ympyräratoja, kolmas kappale on niin kevyt ettei se häiritse kahden massiivisemman kappaleen liikettä. Rajoitetulla kolmen kappaleen probleemalla on mielenkiintoisia erikoisratkaisuja. Viisi Lagrangen pistettä, joissa kappale voi pysyä levossa primäärien rataliikkeen mukana pyörivässä koordinaatistossa. Lagrangen pisteistä kolme on epästabiileja, kahden muun stabiilisuus riippuu primäärien massasuhteesta (kirjassa on virhe tässä kohdassa!). Edellä mainitut kaksi pistettä, L 4 ja L 5 ovat kyllä stabiileja Aurinko-planeetta primääreille. Esimerkistä käyvät Jupiterin kanssa samalla kiertoradalla olevat troijalaiset asteroidit.
32 Lagrangen pisteet (NASA), tasa-arvokäyrät vastaavat ns. efektiivistä potentiaalia, joka on näppärä tällaisissa tarkasteluissa (tarkemmat yksityiskohdat jätetään kuitenkin muille kursseille).
33 Hevosenkenkärata (NASA) kun pieni kappale on 1:1-resonanssissa suuren kappaleen kanssa, niin sen suuren kappaleen kiertonopeudella pyörivässä koordinaatistossa voi olla esim. hevosenkengän muotoinen. Inertiaalikoordinaatistossa kappaleen rata on edelleen käytännössä ellipsin muotoinen ja sen rataperiodi on lähes sama kuin isommalla kappaleella, mutta pyörivässä koordinaatistossa hevosenkengän kiertämiseen voi kulua esim. Maa-asteroidi yhdistelmillä useita satoja vuosia.
34 Rataelementit Edellä mainittuja integraaleja yleisemmin käytetään rataelementtejä: Isoakselin puolikas a. Eksentrisyys e. Inklinaatio i. Nousevan solmun pituus Ω. Perihelin argumentti ω. Periheliaika τ. Näistä eksentrisyys e ja periheliaika τ ovat tuttuja jo aiemmista integraaleista.
35 (Wikimedia Commons: Lasunncty)
36 Vektorit k ja e määräävät radan asennon. Sama informaatio sisältyy rataelementteihin i, Ω ja ω. Inklinaatio i määrää radan kaltevuuden perustasoon nähden. Aurinkokunnan tapauksessa perustasona on Maan ratataso, ekliptika. Inklinaatio on välillä [0, 90 ] jos kappale kiertää vastapäivään, ja välillä [90, 180 ] jos kappale kiertää myötäpäivään. Nousevan solmun pituus Ω ilmoittaa, missä kohtaa planeetta nousee ekliptikan pohjoispuolelle ja se mitataan kevättasauspisteestä vastapäivään. Perihelin argumentti ω ilmoittaa perihelin suunnan mitattuna nousevasta solmusta kappaleen liikkeen suuntaan. Perihelin argumentin sijaan käytetään usein perihelin pituutta ϖ = Ω + ω. (37)
37 Huomautus 1: perihelin pituus siis määritetään kahden eri tasoissa mitatun kulman summana! Huomautus 2: edellä oleva symboli ϖ on vaihtoehtoinen kirjoitustapa kreikkalaisten aakkosten kirjaimelle pii, ei siis mikään omega-viiva. Edellä on oletettu, että planeettojen liikettä voidaan tarkastella erillisinä kahden kappaleen probleemoina, ts. planeettojen keskinäisten vetovoimien aiheuttamat häiriöt ovat hyvin pieniä. Tarkkaan ottaen näin ei ole, vaan häiriöt on otettava huomioon. Tämä voidaan tehdä käyttämällä ajan funktiona muuttuvia rataelementtejä. Tällaiset tietylle hetkelle määritetyt oskuloivat elementit vastaavat kappaleen rataa, mikäli häiriöt äkkiä katoaisivat ko. hetkellä.
38 Tähtitieteen perusteiden taulukko-osassa (D.12) on annettu keskimääräiset rataelementit epookille J ja niiden ensimmäiset aikaderivaatat. Periheliajan sijasta taulukossa on annettu keskilongitudi L = M + ω + Ω, (38) missä M on myöhemmin määriteltävä keskianomalia.
39 Radan määrittäminen Planeetan radan määrittämiseen on useita menetelmiä, joista tunnetuin on ns. Gaussin menetelmä. Yleensä tarvitaan vähintään kolme havaintoa, joihin sovitetaan kartioleikkausrataa. Tarkkuutta voidaan kasvattaa lisäämällä havaintojen määriä. Suureen tarkkuuteen rataparametrien arvoissa vaaditaan useita havaintoja mahdollisimman pitkältä aikaväliltä. Esimerkiksi vasta löydettyjen Maan lähellä olevien asteroidien rataparametrejä pyritään tarkentamaan etsimällä ko. asteroideista jo vuosikymmeniä sitten vahingossa otettuja kuvia. Lisätietoja ratojen määrittämisestä löytyy esim. kirjasta Karttunen: Taivaanmekaniikka. Jätetään tämä asia aineopintokurssille.
40 Planeetan paikan laskeminen (ellipsirata) Luonnollinen anomalia f ei kasva tasaisesti. Planeetan paikkavektori voidaan esittää myös muodossa r = a(cos E e)î + b sin Eĵ, (39) missä a ja b ovat ellipsiradan iso- ja pikkuakselien puolikkaat (b = a 1 e 2 ) ja î ja ĵ niiden suuntaiset yksikkövektorit. E on eksentrinen anomalia, jonka geometrinen tulkinta on esitetty seuraavassa kuvassa (tai kirjan kuvassa 6.9). Voidaan edelleen osoittaa, että Miten saadaan E haluttuna ajanhetkenä? r = a(1 e cos E). (40)
41 (Wikimedia Commons: Brews ohare, editoitu)
42 Keplerin 2. lain mukaan planeetan pintanopeus on vakio, joten edellisen kuvan vaakaraidoitetun alueen SPX pinta-ala on A SPX = πab t τ P, (41) missä t τ on aika perihelin ohituksesta, P on rataperiodi ja πab on ellipsin pinta-ala. Tietyillä ympyröiden ja ellipsien geometriaan liittyvillä vertailuilla (Tähtitieteen perusteet, s ), voidaan alueen A SPX pinta-alalle johtaa myös lauseke A SPX = 1 ab(e e sin E). (42) 2 Huom: edellä E on ilmaistava radiaaneissa! Vertaamalla näitä alueen SPX pinta-alan lausekkeita saadaan Keplerin yhtälö: E e sin E = M, (43)
43 missä esiintyy keskianomalia M = 2π P (t τ). (44) Keskianomalia M kasvaa tasaisesti ajan myötä ja se vastaa suuntaa, jossa planeetta olisi, jos se liikkuisi pitkin a-säteistä ympyrärataa. Näennäisestä yksinkertaisuudestaan huolimatta Keplerin yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, vaan se pitää ratkaista iteroimalla (kts. kirjan esimerkki 6.6 tai laskuharjoitukset) tai sarjakehitelmästä (Taivaanmekaniikka-kurssi tai Karttusen kirja). Kun Keplerin yhtälöstä on ratkaistu E, saadaan luonnollinen anomalia muunnoskaavoista cos E e cos f = 1 e cos E sin f = 1 e 2 sin E 1 e cos E.
44 Parametrit r ja f kertovat planeetan sijainnin radallaan planeetan omassa ratatasossa. Jos haluamme selvittää, missä planeetta näkyy taivaalla, niin tarvitsemme vielä muutaman lisäaskeleen (kirjan esimerkit ): Rataelementtien avulla voimme laskea heliosentrisen pituuden ja leveyden. Näistä voimme laskea suorakulmaiset ekliptikaaliset koordinaatit. Tämän jälkeen voimme laskea ekvatoriaaliset koordinaatit kiertämällä ekliptikan kaltevuuden verran. Tarvitsemme myös Maan sijainnin radallaan, ts. siirrymme maakeskisiin ekvatoriaalisiin koordinaatteihin. Lopuksi määritellään rektaskensio ja deklinaatio. Jätetään tämäkin aineopintokurssille.
45 ESIMERKKI Usein sanotaan, että isoakselin puolikas a on samalla planeetan keskietäisyys Auringosta. Mutta minkä suhteen tämä keskiarvo on otettu? Osoittautuu, että on useita mielekkäitä tapoja määrittää planeetan etäisyyden keskiarvo - onko kyseessä aikakeskiarvo vai geometrinen keskiarvo? Jos keskiarvo r määritetään kaaren pituuden suhteen, niin r/a = 1, eli kaikki hyvin. Jos keskiarvo määritetään luonnollisen anomalian suhteen (f muuttuu tasavälisesti), niin r/a = 1 e 2. Ajan suhteen otettu keskiarvo puolestaan on r/a = e2. Eksentrisen anomalian suhteen otetulle keskiarvolle r/a = 1.
46 Pakonopeus ja ympyräratanopeus Jos kappale liikkuu riittävän suurella nopeudella, se voi paeta äärettömän kauas. Rajatapausta vastaa tilanne, jossa kappaleen nopeus äärettömyydessä on 0. Tällöin myös potentiaalienergia on nolla (r ääretön). Ts. kokonaisenergia on nolla, samoin energiaintegraali h. Energiaintegraalin säilymisestä saamme siis yhtälön 1 2 v 2 µ/r = 0, (45) missä R on etäisyys, jolta kappale lähtee nopeudella v. Tästä saamme pakonopeudeksi etäisyydellä R: 2G(m1 + m 2 ) v e =. (46) R
47 Maan pinnalta pakonopeus on n. 11 km s 1 (m 2 m 1 ). Jos kappale kiertää pitkin ympyrärataa, niin sen periodi on missä v c on ympyräratanopeus. Keplerin kolmannen lain avulla saamme P = 2πR v c, (47) v c = G(m1 + m 2 ) R (48) eli v e = 2v c. (49)
48 ESIMERKKI Laske geostationäärisen satelliitin radan säde. Miten suuri nopeuslisä satelliitille olisi annettava, että se pääsisi pakoon Maata kiertävältä radalta? Maapallon sideerinen pyörähdysaika on n sekuntia, eli aiemmin n. neljä minuuttia lyhempi kuin kalenterivuorokausi. Kun otetaan äsken esitetyt ympyräradan periodin ja ympyräratanopeuksien kaavat 47 ja 48, saamme ympyräradan säteeksi periodin funktiona R = 3 P 2 G(m 1 + m 2 ) 4π 2 Sijoitetaan tähän haluttu periodi ja maapallon massa, m = kg (satelliitin massa voidaan jättää huomioimatta):
49 R = 3 (86164 s) Nm 2 /kg kg 4π 2 = km Jos olisimme käyttäneet hieman tarkempia arvoja luonnonvakioille, niin tulokseksi olisi tullut km. Vastaava ympyräratanopeus: v c = Nm 2 /kg kg km 3.1 km/s Ja pakonopeus v e = 2v c = 4.4 km/s. Nopeuslisä on siis 1.3 km/s.
50 Viriaaliteoreema Yleisessä n:n kappaleen ongelmassa ei siis ole mahdollista löytää analyyttistä ratkaisua kun n 3. On kuitenkin mahdollista johtaa tiettyjä tilastollisia tuloksia, jotka koskevat systeemiä kokonaisuutena, mutta eivät kerro mitään yksittäisten kappaleiden liikkeistä, tai edes systeemin tilasta jollakin tietyllä ajan hetkellä. Jos tarkastellaan rajoitettuun systeemiin liittyvien suureiden aikakeskiarvoja, voidaan johtaa ns. viriaaliteoreeman yleinen muoto (Tähtitieteen perusteet, s ): < 2T > + < n F i r i >= 0, (50) i=1 missä T on systeemin kineettinen energia, r i ovat kappaleiden paikkavektorit, F i ovat kappaleiden väliset voimat ja <>- symbolit viittaavat aikakeskiarvoon.
51 Jos kappaleiden väliset voimat johtuvat pelkästään gravitaatiosta, niin voidaan osoittaa < T >= 1 2 < U >, (51) missä U on systeemin potentiaalienergia. Viriaaliteoreemaa käytetään esim. arvioitaessa pallomaisten tähtijoukkojen ja galaksijoukkojen massoja. Tällöin tarkasteltavan olevan systeemin on oltava suhteellisen vakaassa tilassa.
52 Jeansin massa Tähdet, tähtijoukot ja galaksit syntyvät kutistumalla kaasupilvestä. Jos pilven massa on niin suuri, että sen potentiaalienergian itseisarvo ylittää kaksinkertaisesti kineettisen energian, pilvi alkaa luhistumaan (viriaaliteoreemasta). Pienenä viihdenumerona johdetaan tämän massa, Jeansin massan lauseke käyttäen dimensioanalyysiä. Kaasupilven paine on P ja tiheys on ρ. Koska kutistava voima on gravitaatio, niin gravitaatiovakion on oltava mukana lausekkeessa ja saadaan M = CP a G b ρ c, (52) missä C on dimensioton vakio ja vakiot a, b ja c valitaan siten, että yksiköksi tulee massan yksikkö.
53 Tiedämme, että [P] = kg m 1 s 2, [G] = kg 1 m 3 s 2 ja [ρ] = kg m 3, joten lausekkeen oikean puolen dimensio on kg a b+c m a+3b+c s 2a 2b, jonka on oltava kg! Saamme kolmen yhtälön ryhmän, josta on helppo ratkaista a = 3/2, b = 3/2, c = 2 eli M J = C P3/2 G 3/2 ρ 2. (53) Vakio C riippuu T :sta ja U:sta ja on ykkösen suuruusluokkaa. Jos pilven massa on paljon suurempi kuin Jeansin massa, niin se romahtaa.
54 Kineettistä kaasuteoriaa käyttämällä voidaan johtaa M J = C ( ktk µg ) 3/2 1 ρ, (54) missä T k on kaasun kineettinen lämpötila ja µ on keskimääräinen molekyylipaino. Usein käytetään myös Jeansin pituutta λ J : määritetään minkä pituinen häiriöaalto voi kasvaa pilvessä rajatta.
55 Taivaanmekaniikasta eteenpäin Tähtijoukkoja ja galakseja voidaan mallintaa integroimalla kappaleiden liikettä lähtien alkutilan paikoista ja nopeuksista. Galaksien tapauksessa malleissa on paljon vähemmän kappaleita kuin galaksissa on tähtiä mallin kappaleet ovat paljon tähteä massiivisempia. Tämä johtaisi epärealistisen suuriin voimiin kappaleiden kohtaamisissa, yleensä tätä efektiä kierretään käyttämällä ns. pehmennystä etäisyyksiin lisätään pieni tekijä, joka heikentää voimia lähikohtaamisissa, mutta on kuitenkin niin pieni ettei käytännössä vaikuta voimiin isommilla etäisyyksillä. Jos järjestelmän, kuten galaksin, kappalemäärä on hyvin suuri, sen yleistä materiajakaumaa voi usein mallintaa jatkuvana tiheysjakaumana, jolla on tietty geometria. Tällöin voidaan yksittäisen kappaleen rataa integroida esim. analyyttisessä gravitaatiopotentiaalissa, joka vastaa em. tiheysjakaumaa.
56 Lopputuloksena voi olla mielenkiintoisia eroja verrattuna Aurinkokunnan kappaleiden liikkeisiin: sulkeutumattomia ratoja, ratoja, jotka sulkeutuvat jollakin nopeudella pyörivässä koordinaatistossa jne. Yllä olevassa kuvassa on esitetty ratoja sauvaspiraaligalaksin sauvan mukana pyörivässä koordinaatistossa (sauva olisi kuvassa x-akselin suuntainen ja loppuisi vähän ennen katkoviivalla merkittyä ympyrää).
57 Edistyneempiin käsitteisiin, kuten resonansseihin tai kaoottisiin ratoihin, törmää toki myös Aurinkokunnan dynamiikkaa tarkasteltaessa. Toisaalta klassisen mekaniikan mukainen taivaanmekaniikka muuttuu riittämättömäksi silloin kun tarkastellaan liikettä voimakkaassa painovoimakentässä. Planeetoista lähinnä Aurinkoa kiertävän Merkuriuksen perihelin suunta kiertyy 565 vuosisadassa. Suurin osa tästä selittyy muiden planeettojen aiheuttamilla häiriöillä, mutta 43 vuosisadassa jää kuitenkin ylimääräistä. LeVerrier ehdotti tämän johtuvan Merkuriuksen radan sisäpuolella kiertävän planeetan, Vulkanuksen, vaikutuksesta. Myöhemmin osoittautui, että Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria selitti eron Vulkanuksen etsinnät voitiin lopettaa.
Taivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt
Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
Lisätiedot6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen
6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition
LisätiedotLUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA
LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö
Lisätiedot2.7.4 Numeerinen esimerkki
2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
LisätiedotLuento 4: kertaus edelliseltä luennolta
Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Liikeyhtälön ratkaisu: kartioleikkaus (Kepler I r = k2 /µ + e cosf = a ǫ2 +ǫ cos f k = k ǫ < ellipsi, negativinen energia a = µ 2h ǫ = parabeli, nolla energia ǫ
Lisätiedot5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat
5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotLuento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö
Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Lisätiedot2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki
2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
LisätiedotGravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotCopyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotNyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi
Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotLuento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi
Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotLuvun 13 laskuesimerkit
Luvun 13 laskuesimerkit Esimerkki 13.1 Olkoon Cavendishin vaa'an pienen pallon massa m 1 = 0.0100 kg ja suuren pallon m 2 = 0.500 kg (molempia kaksi kappaletta). Miten suuren gravitaatiovoiman F g pallot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotTAIVAANMEKANIIKAN KOTITEHTÄVÄT (syksy 2014)
TAIVAANMEKANIIKAN KOTITEHTÄVÄT (syksy 214) 1. Marsin rata taivaalla vuosina 2-22 2. Numeerinen integrointi a) 2-kappaleen liike 1/r 2 voimakentässä (Kepler liike) b) 2-kappaleen liike 1/r 3 voimakentässä
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotMekaniikkan jatkokurssi
Mekaniikkan jatkokurssi Tapio Hansson 16. joulukuuta 2018 Mekaniikan jatkokurssi Tämä materiaali on suunnattu lukion koulukohtaisen syventävän mekaniikan kurssin materiaaliksi. Kurssilla kerrataan lukion
LisätiedotLiike pyörivällä maapallolla
Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
Lisätiedot766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012
766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot1 Oikean painoisen kuulan valinta
Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotToisen asteen käyrät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kartio ja lieriö
Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
Lisätiedot4. RAJOITETTU 3 KAPPALEEN ONGELMA
4. RAJOITETTU KAPPALEEN ONGELMA Yleinen kappaleen liike 8>< R = Gm R = Gm R R R R + Gm R R R R + Gm R R R R R R R R > : R = Gm R R R R + Gm R R R R kpl vektorikomponenttia 9 toisen asteen diff. htälöä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotTAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ
TAIVAANMEKANIIKKA IHMISEN PERSPEKTIIVISTÄ ARKIPÄIVÄISTEN ASIOIDEN TÄHTITIETEELLISET AIHEUTTAJAT, FT Metsähovin Radio-observatorio, Aalto-yliopisto KOPERNIKUKSESTA KEPLERIIN JA NEWTONIIN Nikolaus Kopernikus
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
Lisätiedot